Как рассчитать проценты математика

- kbrbank

Как рассчитать проценты математика

5. Денежная МАТЕМАТИКА

Под денежной математикой понимаются модели и методы денежных расчетов. Базисная денежная операция – кредитование. Субъекты рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами).

Обстановка в несложном случае, в то время, когда ссуда выдана на год,   продемонстрирована на рис.5.1.

Обозначим:

P — ссуда;

S – ссуда с наращением ( с процентами);

I – процент ;

  i =   = – годовая ставка процента, в этом случае ставка наращения.

Обратим внимание на некорректность заглавия величины I – «процент». В действительности I – это величина наращения ссуды и измеряется в финансовых единицах, а не в процентах. Но такова классическая терминология денежных операций: сумма наращения именуется процентом либо процентами.

В большинстве случаев при кредитовании предметом контракта являются величина ссуды P и годовая ставка i. а ссуда с наращением S есть функцией P и i. Выразим S через P и i. S = P (1 + i ). Приведенная формула для S честна   лишь при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу необходимо ввести время.

Традиционно в денежных расчетах   время измеряется в годах, а ставка берется   годовая, не смотря на то, что вероятны и другие измерители времени – квартал, месяц, сутки, на каковые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются   в соглашении о предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться   на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни в большинстве случаев считаются за один сутки.

В различных государствах а также в различных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-различному.

Обозначим:

t – срок ссуды в днях;

T – количество дней в году;

  n =   – срок ссуды в годах.

Величины t и T смогут определяться совершенно верно по календарю, или приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год складывается из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый метод обозначается (365/365), а второй — (360/360). Вероятны и перекрестные методы.

В любом   случае при получении ссуды необходимо предварительно убедиться, каким методом определяется срок ссуды, т.к. от этого зависит величина процентов.

Величина процентов зависит от величины ссуды, срока ссуды и процентной ставки. Различают простые и сложные проценты. Несложными именуют проценты, каковые являются линейной функцией от времени.

Сложные проценты являются показательной функцией от времени,   где время входит в показатель степени.

Выше была приведена формула наращения для случая, в то время, когда ссуда выдана совершенно верно на год: S = P (1 + i ) . Выведем формулу наращения для произвольного срока ссуды, измеренного в годах (рис.5.1.1).

S 1 = P (1 + i ) = P + Pi = P + I 1.

In = Pni – проценты за n лет.

Видно, что проценты являются линейной функцией времени.

Формулы для вычисления Sn и In были выше написаны для целого числа лет n. Разумеется, что они честны и для дробных значений n как меньше, так и больше 1. Напр. необходимо вычислить проценты за месяц по приближенному способу (360/360). Тогда n = и I мес. = Pi /12. Соответственно проценты за сутки по способу (360/360) равны Pi / 360.

Во всех формулах   i – годовая ставка процента.

При больших сроках ссуды время от времени используют переменную ставку – напр. в то время, когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.

Обозначим:

t = 1. m – номера временных промежутков с разными процентными ставками;

nt – длительность t –го промежутка в годах;

it – годовая ставка наращения в t –ом   промежутке.

Возврат ссуды по частям

Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, или частями в течение этого срока. В последнем случае нужно рассчитывать величину последнего платежа. Для этого применяют два способа: актуарный и торговца.

На рис. 5.1.2 изображена схема расчетов по актуарному способу, что в большинстве случаев используется при сроках ссуды более года.

n   –   срок ссуды;

i – годовая ставка наращения;

St – сумма долга, накопленная к   t -му платежу;

Rt – величина   t -го платежа;

Pt – остаток долга по окончании t -го платежа.

Формулы для вычислений:

В любую секунду накопленный долг складывается из двух частей: оставшаяся не компенсированной часть ссуды Р и накопленные и непогашенные проценты. В случае если очередной платеж меньше накопленных и непогашенных процентов, то уменьшение суммы долга не производится, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

На рис 5.1.3 продемонстрирована схема расчетов по способу торговца, что в большинстве случаев используется при сроке ссуды менее года.

Обозначим:

P – ссуда;

S – ссуда с процентами,   S = P (1 + ni );

n – срок ссуды;

t = 1. m – номера промежуточных платежей;

Rt – величина t -го промежуточного платежа;

nt – срок t -го промежуточного платежа;

R – последний платеж.

Мысль способа торговца содержится в следующем. Пускай в срок nt   осуществлен промежуточный платеж Rt . На оставшееся до конца срока   ссуды время, равное ( n — nt ), начисляются проценты, и к концу срока ссуды сумма промежуточного платежа с процентами составит:

В случае если таких платежей было m. то к концу срока ссуды накопится сумма платежей с процентами.

Разумеется, что последний платеж R обязан дополнять накопленную сумму платежей   с процентами до величины ссуды с накопленными по ссуде процентами.

Заменив S и   на их значения, возьмём

Из этого возьмём величину последнего платежа:

Сопоставим идеи двух рассмотренных способов промежуточных платежей по ссуде. В актуарном способе любой платеж сокращает сумму долга, проценты начисляют на оставшийся долг. В способе торговца любой платеж не сокращает суммы долга, но на него начисляются проценты. В конце срока ссуды при последнем

платеже сумма накопленного долга и сумма накопленных платежей должны сравняться.

До сих пор рассматривалась процедура наращения: выданная ссуда Р с течением времени наращивалась процентами и преобразовывалась в ссуду с процентами S. Ставка наращения определялась отношением процентов за год I к ссуде Р. В банковском деле используется кроме этого процедура дисконтирования (учета), которая показалась из операции учета векселей. Вексель –   обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S ), в указанный срок.

В случае если держатель векселя   (его хозяин сейчас)   хочет обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся   у него вексель, т.е. приобрести его за сумму Р. меньшую, чем номинал S. Такая сделка именуется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом. Схема расчетов по дисконтированию продемонстрирована на рис.5.1.4   для случая, в то время, когда до срока оплаты векселя векселедателем ( т.е. тем, кто его выдал) остался год.

Обозначим:

S – номинал векселя;

1 год – срок действия векселя;

D – дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;

Р – цена векселя, т.е. сумма денег, которую возьмёт продавец векселя при его учете.

Легко подметить, что схема дисконтирования весьма похожа на схему наращения (рис.5.1). Величины Р и S. D и I совпадают. Отличие содержится в том, что в схеме наращения в базу расчетов положена выдаваемая ссуда Р, а вычисляется возвращаемая ссуда с процентами S. при дисконтировании же в базу положен номинал векселя S (т.е. возвращаемая сумма), а рассчитывается сумма денег Р. которую возьмёт продавец векселя.

Обозначим: d – учетная ставка,

Еще наращения и процедур одно отличие учёта. При наращении ставка i считается на величину ссуды Р. а при дисконтировании учетная ставка   d   считается на номинал векселя S.

Сопоставим.

Разумеется, что при однообразных размерах   S и Р учетная ставка будет меньше ставки наращения. Запишем формулу расчета Р при известных S и d.

Эта формула честна при годичном сроке векселя. Пускай   срок действия векселя   n лет, где   n – неотрицательное число, а также дробное. Формула для расчета Р примет вид: P = S (1 — nd ). Видно, что n и d смогут быть такими, что может оказаться nd 1 и Р станет меньше нуля.

  Это, конечно же, нереально: никто не согласится дать вексель, к тому же уплатить за это сумму, равную S ( nd -1). Исходя из этого дисконтирование используют так, дабы было 1 nd 0.

Номинальная и настоящая ставки процента

Пускай ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год необходимо вернуть эту ссуду с процентами S = P (1 + i ). В случае если имеет место инфляция с темпом j. то за год величина   S обесценится.

Обозначим:

S н – номинальная ссуда с процентами;

S р – настоящая ссуда с процентами, т.е. платежеспособность S н ;

r – настоящая ставка процента;

i – номинальная ставка процента;

j – темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

SP = P(1 +   r);

S н = SP (1 +   j) = P(1 + r)(1 + j).

Последнюю формулу необходимо осознавать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо S н подставим ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j)   либо   (1 + i) = (1 + r)(1 + j)

Произведя преобразования, возьмём:

Это правильная формула расчета настоящей ставки процента по известным размерам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции используют приближенную формулу r = i — j. При большой инфляции необходимо использовать правильную формулу.

Конверсия валюты

Под конверсией валюты понимается перевод денежных активов из одной валюты в другую, — напр. перевод рублей в доллары США либо напротив. В банке возможно хранить деньги на рублевом либо валютном вкладе. Что удачнее?

В большинстве случаев, ставки по рублевым квитанциям выше, чем по валютным. Это связано с тем, что рубли обесцениваются   в связи с инфляцией стремительнее, чем доллары США, евро и др. Ответ на вопрос,   в какой   валюте удачнее хранить деньги в банке, зависит от ставок по рублевому и валютному вкладам, и от темпа трансформации курса национальной валюты. Схема   расчетов продемонстрирована на рис.

5.1.5.

Вся операция запланирована на год. А, В, С, D – разные состояния на протяжении операции.

Стрелка АВ – хранение денег на рублевом вкладе.

АС – конверсия рублей в доллары США, т.е. продажа банком долларов вкладчику.

CD – хранение денег на валютном вкладе.

DB – конверсия долларов в рубли.

Р P – сумма вклада в рублях.

Р – сумма вклада в долларах.

SP – рублевая сумма вклада с наращением   (с процентами)   через год.

S – долларовый вклад с процентами через год.

i – годовая ставка процента по рублевому вкладу.

v – годовая ставка процента по валютному вкладу.

b пр – курс продажи на момент вклада, т.е. цена по которой банк реализовывает доллары США за рубли.

b пок – курс приобретения через год, т.е. цена. по которой банк берёт доллары США.

На стрелках продемонстрированы формулы для расчета результатов операций.

Определим условия эквивалентности хранения денег на рублевом и валютном вкладе: в этом случае итог хранения должен быть однообразным.

5.2. Сложные проценты

В случае если ссуда выдана на проценты и некоторый срок начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов появляется тогда, в то время, когда срок ссуды разбит на пара промежутков, в конце каждого промежутка начисляются проценты и присоединяются к сумме,   накопленной на начало промежутка.

Источник: matekonomika.narod.ru

Как считать проценты на калькуляторе

Интересные записи

Похожие статьи, которые вам, наверника будут интересны: