Как решить лимит

- kbrbank

Как решить лимит

Предел функции Главные теоремы о пределах Ответ пределов через раскрытие неопределённостей

Неспециализированное понятие предела

Обобщённое понятие предела: число a имеется предел некоей переменной величины, в случае если в ходе собственного трансформации эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Поясним это на примере, что кроме этого проиллюстрируем. А по окончании примера приведём неспециализированный метод ответа пределов.

Помимо этого, решённые в этом уроке примеры и каждые другие задачи на пределы, возможно проверить на калькуляторе пределов онлайн .

В нижнюю часть равнобедренного треугольника вписана окружность. Диаметр данной окружности обозначим как . На рисунке диаметр совершён синим цветом. К окружности параллельно основанию начального треугольника совершена касательная (она на рисунке серого цвета).

В следствии взят треугольник, подобный начальному. В данный треугольник совершенно верно так же вписана окружность. Её диаметр — (диаметры на рисунке ограничены касательными). Подобные построения длятся, пока разрешает высота треугольника.

Взята последовательность уменьшающихся окружностей и соответствующая им последовательность длин их диаметров: . Эта последовательность длин диаметров даёт пример переменной величины , которая с возрастанием номера окружности x неограниченно приближается к нулю. Предел данной последовательности равен нулю: .

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и пытается к бесконечности, другими словами . Допустим, существует таковой равнобедренный треугольник, что протяженность диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется отыскать, будет записана так:

Lim это и имеется предел, а под ним указывается переменная, которая пытается к определённому значению – нулю, любому второму числу, бесконечности.

Сейчас вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это именуется доопределить функцию, с этим определением вы имеете возможность ознакомиться в последующих частях главы Предел). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:

Разглядев рисунок опять, найдём, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. По большому счету, предел предположительно составит нулю, любому второму числу либо бесконечности.

Сейчас более строгие определения предела функции, каковые Вас смогут задать вопрос на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

Предел функции

Предел функции при

Пускай функция f (x ) выяснена на некоем множестве X и пускай дана точка . Заберём из X последовательность точек, хороших от :

(1)

сходящуюся к . Значения функции в точках данной последовательности кроме этого образуют числовую последовательность

(2)

и возможно ставить вопрос о существовании её предела.

Определение 1. Число A именуется пределом функции f (x ) в точке (либо при ), в случае если для любой сходящейся к последовательности (1) значений довода x. хороших от , соответствующая последовательность (2) сходится к числу A .

Символически это записывается так:

Это указывает: дабы отыскать предел функции, необходимо в функцию вместо x подставить то значение, к которому пытается x.

Пример 1. Отыскать предел функции при .

Ответ. Подставляем вместо x значение 0. Приобретаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Помимо этого, решённые в этом уроке примеры и каждые

другие задачи на пределы, возможно на проверить на калькуляторе пределов онлайн .

Предел функции при , при и при

Не считая рассмотренного понятия предела функции при существует кроме этого понятие предела функции при рвении довода к бесконечности.

Определение 2. Число A именуется пределом функции f (x ) при , в случае если для любой вечно громадной последовательности (1) значений довода соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A .

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A именуется пределом функции f (x ) при (), в случае если для любой вечно громадной последовательности значений довода, элементы которой хороши (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A .

Символически это записывается так: ().

Это, как и при определения 1, свидетельствует: дабы отыскать предел функции, необходимо в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность либо минус бесконечность.

Пример 2. Отыскать предел функции при .

Ответ. Подставляем вместо x бесконечность. Приобретаем, что последовательность значений функции есть вечно малой величиной и исходя из этого имеет предел, равный нулю:

.

Для убедительности и наглядности, решая этот пример в черновике, имеете возможность подставить вместо x супербольшое число. При делении получите семь дней число.

А проверить ответ задачи на пределы возможно на калькуляторе пределов онлайн .

Главные теоремы о пределах

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не имеет возможности иметь более одного предела.

Следствие. В случае если две функции f (x ) и g (x ) равны в некоей окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки , то или они имеют одинаковый предел при , или обе не имеют предела в данной точке.

Теорема 2. В случае если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей. т.е.

            (4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, в случае если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) честны для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной. т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель возможно выносить за символ предела. т.е.

А проверить ответ задачи на пределы возможно на калькуляторе пределов онлайн .

Теорема 3 (о пределе сложной функции). В случае если существует конечный предел

а функция f(u) постоянна в точ ке , то

Иначе говоря для постоянных функций функции и символы предела возможно поменять местами .

Яркое использование теорем о пределах, но, не всегда ведет к цели. К примеру, нельзя применить теорему о пределе частного, в случае если предел делителя равен нулю. В таких случаях нужно предварительно тождественно преобразовать функцию, дабы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 5. Отыскать предел:

Ответ. Теорема о пределе частного тут неприменима, поскольку

Преобразуем заданную дробь, разложив знаменатель и числитель на множители. В числителе возьмём

Источник: function-x.ru

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Артур Шарифов

Интересные записи

Похожие статьи, которые вам, наверника будут интересны: