Как посчитать сложные проценты

- kbrbank

Как посчитать сложные проценты

Из прошлой темы как мы знаем, что простые проценты начисляются лишь на положенную сумму, а на проценты, начисленные за прошлые периоды, они уже не начисляются. По данной причине при начислении несложных процентов вкладчики в большинстве случаев снимают доход со счета, т.к. предстоящее его нахождение на счете не ведет к повышению наращенной суммы.

Сложные проценты, напротив, стимулируют вкладчиков не снимать начисленный доход со счета, т.к. в последующие периоды на него кроме этого начисляются проценты.

Формула для расчета наращенной суммы при начислении сложных процентов:

                                                         (2.1)

где   — наращенная за   лет сумма (д.е.);

  — первоначально положенная сумма (д.е.);

  — ставка сложного процента, выраженная в долях от единицы и начисляемая за год (1/год);

  — количество расчетных периодов, тех же, что и   (вероятно дробное значение). Значительно чаще   измеряется в годах, не смотря на то, что вероятен и второй расчетный период (лет).

Множитель   именуется множителем наращения. Для его определения возможно воспользоваться особыми таблицами либо вычислять его посредством научного (инженерного) калькулятора.

Пример 1.1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 10% сложных годовых, 2000 тыс.д.е. Какая сумма будет на счете вкладчика через 3 года?

Какая сумма будет на счете вкладчика, в случае если банк выплачивает 10% несложных годовых?

Из приведенного примера видно, что в случае если срок вклада превышает срок начисления процентов, то для сложных процентов наращенная сумма возрастает стремительнее, чем для несложных (при численном равенстве ставок). Причем, эта отличие существенно возрастает с увеличением срока, и численного значения ставки.

В практике денежных расчетов   постоянно указывает на период, равный году. На практике процентный доход может начисляться каждое полугодие, квартал, месяц либо сутки. В этом случае, за любой таковой период, равный   части года, начисляется   сложных процентов.

Тогда для годовой ставки используют обозначение . и она именуется сложной номинальной. Это обозначение свидетельствует, что годовая ставка равна числу . а доход начисляется   раз в год через равные промежутки времени в размере . Формула для расчета наращенной суммы, в случае если употребляется сложная номинальная ставка:

                                                  (2.2)

где   — наращенная за расчетных периодов сумма (д.е.);

  — первоначально положенная сумма (д.е.);

  — номинальная годовая ставка сложных процентов, выраженная в долях от единицы;

  — срок начисления процентов (лет);

  — количество начислений процентов в год (при ежемесячном начислении . при ежеквартальном   и т.д.) (раз/год);

  — общее число начислений процентов, сделанное за   лет (раз).

Пример 1.2. Вкладчик положил в банк 2000 тыс.д.е. Какая сумма будет на счете вкладчика через 3 года, в случае если банк создаёт начисление процентов по сложной номинальной ставке . т.е. производится ежеквартальное начисление процентов?

Сравнив ответ с ответом из примера 1.1, возможно заметить, что с повышением частоты начисления процентов наращенная сумма растет стремительнее.

Равно как и для несложных процентов, не считая решения прямой задачи — нахождение наращенной суммы — вероятно ответ трех обратных задач: нахождение положенной суммы, срока вклада, и ставки.

Формулы для определения положенной суммы:

                                          (2.3)

                           (2.4)

Множители   либо . и   либо   именуются дисконтными множителями.

Пример 1.3. Через 4 месяцев и 6 года господин Сидоров хочет иметь на счете 5000 тыс.д.е. Какую сумму он обязан положить в банк, в случае если учетная ставка банка 10% сложных

годовых с ежемесячным начислением дохода?

Для определения ставки применяют формулы:

                                          (2.5)

                         (2.6)

Пример 1.4. Господин Сидоров имеет 3000 тыс.д.е. а через 4 месяцев и 6 года он желает взять 5000 тыс.д.е. Какой должна быть учетная ставка банка, создающего ежемесячное начисление дохода, дабы господин Сидоров выполнил собственный желание, инвестировав в данный банк?

Определение срока действия вклада создают по формулам:

                                                            (2.7)

                                                   (2.8)

Пример 1.5. В банк, выплачивающий 10% сложных годовых с ежемесячным начислением дохода, положили 3000 тыс.д.е. Через какое количество лет на счете будет 5000 тыс.д.е.

При применении номинальной ставки   число   (количество начислений процентов в год) возможно увеличивать вечно. Наращенная сумма   кроме этого будет возрастать, но наряду с этим стремиться к конечному пределу. Это разрешает на практике применять постоянное начисление процентов (по ставке ). Наращенную сумму в этом случае определяют по формуле:

                                                            (2.9)

где   — основание натурального логарифма (2,718281828. );

— номинальная   годовая ставка, выраженная в долях от единицы, по которой осуществляется постоянное начисление процентов.

Пример 1.6. Согласно данным примера 1.2 выяснить наращенную сумму при условии постоянного начисления процентов.

При с постоянным начислением процентов ответ обратных задач осуществляется по формулам:

                                                  (2.10)

                                                            (2.11)

                                                          (2.12)

Пример 1.7. Через какое количество лет 1 тыс.д.е. положенная в банк, превратится в 1000 тыс.д.е. в случае если ставка банка 10% годовых с постоянным начислением процентов?

2. Сложный дисконт

Учет (дисконтирование) векселей возможно создавать не только по несложной ставке (дисконт несложной), но и по сложной (дисконт сложный). В этом случае используются формулы:

                                                      (2.13)

                                               (2.14)

где   — сумма, которую возьмёт векселедержатель в момент погашения векселя (она написана на векселе) (д.е.);

  — сумма, которую может взять векселедержатель до наступления срока оплаты векселя (реализовать за эту сумму вексель банку) (д.е.);

  — сложная годовая учетная ставка;

  — сложная номинальная учетная ставка.

Пример 2.1. Тратта (переводной вексель) выдана на сумму 1000 тыс.д.е. с уплатой 15 октября. Обладатель документа (векселедержатель) учел его в банке 15 августа того же года по сложной учетной ставке 10% годовых.

какое количество он возьмёт?

какое количество возьмёт обладатель векселя, в случае если срок уплаты по нему 15 октября следующего года?

Какую прибыль наряду с этим возьмёт банк?

Примечание. В данной и аналогичных задачах мы оперируем числом дней, прошедших от одной до второй даты. Для перевода этого срока в годы (часть года) нужно количество дней поделить на 360 (360 дней в году — продолжительность банковского года).

Между 15 октября и 15 августа 61 сутки.

Между 15 октября и 15 августа следующего года 360 + 61 = 421 сутки.

Прибыль банка соответственно:

Не считая учета векселей сложный дисконт может использоваться и для выдачи дисконтированной ссуды (проценты вычитаются из ссуды в момент ее выдачи).

Пример 2.2. Предприятие взяло дисконтированную ссуду 10000 тыс.д.е. на 2 года и 4 месяца в банке, в котором установлена учетная ставка сложного дисконта, равная 10% в год с ежеквартальным начислением дохода. Какую сумму взяло предприятие на руки?

На какую сумму предприятие должно заключить сделку, чтобы получить в момент оформления ссуды 10000 тыс.д.е.?

Для решения второй части задачи нужно преобразовать формулу (2.14) *).

                                 (2.15)

Источник: alexander812.narod.ru

Введение в сложные проценты

Интересные записи

Похожие статьи, которые вам, наверника будут интересны: